空间汇总

  graph TD
      A[线性空间 / 向量空间] 
      
      B[距离空间]

      C[距离线性空间]

      D[完备的距离空间]

      E[赋范线性空间]

      F[Banach空间 / 完备的赋范线性空间]

      G[内积空间]

      H[Hilbert空间 / 完备的内积空间]

      A --> |距离函数对加法数乘连续|C
      B --> |柯西序列都收敛|D
      A --> |定义范数|E
      E --> |完备化|F
      D --> |赋范|F
      G --> |完备化|H
        

基本证明

距离

证明三个条件：

1. 非负性：$d(x,y) \ge 0,d(x,y)=0$当且仅当$x=y$
2. 对称性：$d(x,y)=d(y,x)$
3. 三角不等式

开集

任意 $x\in O$ 都有 $B(x,r)\subset O$

闭集

所有极限点都在内部

连续函数

• 开集映为开集
• $T: X\to X$满足 $\mathrm{Lipschitz}$ 条件

完备

距离空间里的Cauchy序列都收敛

列紧

• M中任何序列都有收敛子序列
• 闭的列紧集叫自列紧集，就是紧集

紧集

• 闭的列紧集
• 有界闭集
• 任何开覆盖存在有限子覆盖

范数/赋范线性空间

1. 非负性： $\| x \| \ge 0\ , \|x\|=0$ 当且仅当 $x=0$
2. 线性性： $\|\alpha x\|=|\alpha|\ \|x\|$
3. 三角不等式： $\|x+y\|\le \| x\|+\|y\|$

线性算子

定义

$T(\alpha x+\beta y)=\alpha Tx+\beta Ty$

有界线性算子

$\|Tx\| \le C\ \|x\|$

算子范数

$\displaystyle \|T\|=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|=\sup\frac{\|Tx\|}{\|x\|}$

内积空间

内积验证

1. 非负：$\langle x,x \rangle \ge 0$等于0当且仅当$x=0$
2. 共轭线性： $\langle \alpha x+\beta y , z \rangle$ 线性， $\langle x, \alpha y \rangle = \overline{\alpha}\langle x,y \rangle$
3. 共轭对称： $\langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}$

验证Hilbert空间

完备的内积空间：

1. 验证内积：平行四边形法则（对角线平方和等于两倍临边平方和）
2. 验证完备：内积范数下Cauchy序列都收敛

或者同构于一个已知的内积空间

正规正交基

有多种方法：

1. 验证 $S$ 是正规正交集，而且没有比他更大的（更高维的）
2. 与 $S$ 的每个元正交的只有零元
3. $S\subset H$ 在 $H$ 中完备（ $S$ 张成的子空间稠密）

Parseval 公式

可分的 $\mathrm{Hilbert}$ 空间 $H$ 有可数基 $\{ x_n\}_{n=1}^\infty$ ，则对任何 $x \in X$: $x = \sum_{n=1}^\infty \langle x,x_n \rangle x_n$ $\|x\|^2 =\sum_{n=1}^\infty |\langle x,x_n \rangle |^2$

Frecht-Reisz 表示定理

$f\in H^*$ 定义在 $H$ 上的有界线性泛函 $f$ 的作用唯一对应一个内积，从而唯一对应一个 $H$ 中的元素
而且是保范的 $\|f\|=\|z_f\|$

Laz-Milgram 定理

把 $\mathrm{F.R.}$ 定理的内积推广成一个共轭双线性泛函 $B(f,g)$ 满足条件：

$$\begin{cases} \text{有界：}B(f,g) \le C\|f\| \ \|g\| \\ \text{强制：}B(f,f) \ge \alpha \|f\|^2 \end{cases}$$

那么有界线性泛函和B是一一对应的 $f(x)=B(x,y_0) \quad i.e.\ f\mapsto y_0$ ，此时保范变成了：

$$\|y_0\|\le \dfrac{1}{\alpha}\|f\|$$

这时强制性保证了B对应的线性算子是有界可逆的 $\Big( B(x,y)=\langle Ax,y \rangle ：A\leftrightarrow A^{-1}\Big )$

共轭双线性泛函的一个性质

有界共轭双线性泛函 $\varphi(x,y)$ 唯一对应到 $H$ 上的一个线性算子 $A$ :$\varphi(x,y)=\langle Ax,y\rangle$

伴随算子

连续线性泛函 $f$ 和有界线性算子 $T$ : $f(x) \overset{\mathrm{def}}{=} \langle Tx,y\rangle \overset{\mathrm{F.R.}}{=} \langle x,\hat{y}\rangle\overset{\mathrm{def}}{=}\langle x,T^*y\rangle$ $\hat{y}\Longleftrightarrow f\Longleftrightarrow T \Longleftrightarrow T^*$

常见的例子

$L^2[a,b]$ 空间

1. 范数：$\displaystyle \|x\|_2 = \Big(\int_a^b |x(t)|^2 \, \mathrm{d}t \Big)^{1/2}$

2. 内积：$\displaystyle \langle x,y\rangle = \int_a^b x(t)\ \overline{y(t)}\ \mathrm{d}t$

$\mathcal{l}^2$ 空间（复的我们表示为\usepackage{boondox-cal}（解决小写花体） \mathscr{l}^2 ）

1. 范数：$\displaystyle \|x\|_2=\Big (\sum_{n=1}^\infty |\langle x,x_n \rangle|^2 \Big)^{1/2}$
2. 内积：