引言 摘要 本报告旨在探讨Hausdorff测度这一量化集合“大小”的先进工具。鉴于传统Lebesgue测度在处理诸如Cantor集和Koch雪花曲线等具有复杂或“粗糙”几何结构的集合时存在局限性，即这些集合可能具有零Lebesgue测度却仍表现出某种“大小”或“复杂性”，因此引入了Hausdorff测度以提供更精细的量化手段。
Hausdorff测度通过对开集进行精细覆盖来定义，能够为任意非负实数 s s s s − s- s − H s ( E ) \mathcal{H}^s(E) H s ( E )
背景 在经典的实变函数论中，Lebesgue测度为我们提供了衡量欧几里得空间 R n \mathbb{R}^n R n R 1 \mathbb{R}^1 R 1
正是在这样的背景下，Hausdorff测度应运而生。与Lebesgue测度专注于整数维度的“长度”、“面积”与“体积”不同，Hausdorff测度通过一种精细的开集覆盖方式定义，能够对任意非负实数 s s s s-维测度 H s ( E ) \mathcal{H}^s(E) H s ( E )
这种灵活性使得Hausdorff测度不仅可以作为Lebesgue测度在整数维度上的自然推广，更重要的是在处理分形等非整数维度集合时展现出独特的优势。它能够揭示集合内在的“分数维度”特性，从而为研究那些传统几何工具难以描述的复杂结构提供了有力的分析框架。
Hausdorff测度 定义 Definition: U U U 度量空间 ( ( ( 中任意非空子集, U U U U U U
∣ U ∣ = sup { ∣ x − y ∣ : x , y ∈ U } , |U| = \sup\{ |x - y| : x, y \in U \}, ∣ U ∣ = sup { ∣ x − y ∣ : x , y ∈ U } ,
如果 { U i } \{U_i\} { U i } F F F δ \delta δ
F ⊆ ⋃ i = 1 ∞ U i ∀ i ∈ N , 0 < ∣ U i ∣ ≤ δ F \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty U_i \quad \forall i \in \mathbb{N} , 0 < |U_i| \leq \delta F ⊆ i = 1 ⋃ ∞ U i ∀ i ∈ N , 0 < ∣ U i ∣ ≤ δ
称 { U i } \{U_i\} { U i } F F F δ \delta δ
Definition: 假设 F F F ( ( ( , δ ) ,\delta) , δ ) s s s ∀ δ > 0 \forall \delta > 0 ∀ δ > 0
H δ s ( F ) = inf { ∑ i = 1 ∞ ∣ U i ∣ s : { U i } 是 F 的一个 δ -覆盖 } . \mathcal{H}^s_\delta(F) = \inf \left\{ \sum_{i=1}^\infty |U_i|^s : \{U_i\} \text{ 是 } F \text{的一个 }\delta\text{-覆盖 } \right\}. H δ s ( F ) = inf { i = 1 ∑ ∞ ∣ U i ∣ s : { U i } 是 F 的一个 δ - 覆盖 } .
因此，我们要研究 F F F δ \delta δ s s s δ \delta δ F F F H δ s ( F ) \mathcal{H}^s_\delta(F) H δ s ( F ) δ → 0 \delta \to 0 δ → 0 Hausdorff测度
Definition [Hausdorff测度]:
H s ( F ) = lim δ → 0 H δ s ( F ) . \mathcal{H}^s(F) = \lim_{\delta \to 0} \mathcal{H}^s_\delta(F). H s ( F ) = δ → 0 lim H δ s ( F ) .
即
H s ( E ) = lim δ → 0 inf { ∑ i = 1 ∞ ( diam U i ) s : E ⊂ ⋃ i U i , diam ( U i ) < δ } \mathcal{H}^s(E) = \lim_{\delta \to 0} \inf \left\{ \sum_{i=1}^{\infty} (\operatorname{diam} U_i)^s : E \subset \bigcup_i U_i,\ \operatorname{diam}(U_i) < \delta \right\} H s ( E ) = δ → 0 lim inf { i = 1 ∑ ∞ ( diam U i ) s : E ⊂ i ⋃ U i , diam ( U i ) < δ }
Evans的书 ^ {\cite{ref2}} 中在章节引文部分提到一个简单的解释 “We introduce next certain “lower dimensional” measures on R n \mathbb{R}^n R n R n \mathbb{R}^n R n H s ( E ) \mathcal{H}^s(E) H s ( E )
接下来，我们引入 R n \mathbb{R}^n R n R n \mathbb{R}^n R n H s ( E ) \mathcal{H}^s(E) H s ( E )
Claim: 我们可以证明上述H δ s ( F ) 和 H s ( F ) \mathcal{H}^s_\delta(F) \text{和} \mathcal{H}^s(F) H δ s ( F ) 和 H s ( F ) Proof: 取集合列 { A k } k = 1 ∞ ⊆ R n \{A_k\}_{k=1}^\infty \subseteq \mathbb{R}^n { A k } k = 1 ∞ ⊆ R n k k k A k ⊆ ⋃ j = 1 ∞ C j k A_k \subseteq \bigcup_{j=1}^\infty C_j^k A k ⊆ ⋃ j = 1 ∞ C j k diam C j k ≤ δ \operatorname{diam} C_j^k \leq \delta diam C j k ≤ δ { C j k } j , k = 1 ∞ \{C_j^k\}_{j,k=1}^\infty { C j k } j , k = 1 ∞ ⋃ k = 1 ∞ A k \bigcup_{k=1}^\infty A_k ⋃ k = 1 ∞ A k
H δ s ( ⋃ k = 1 ∞ A k ) ≤ ∑ k = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ α ( s ) ( diam C j k 2 ) s . \mathcal{H}_\delta^s \left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) \leq \sum_{k=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty \alpha(s) \left( \frac{\operatorname{diam} C_j^k}{2} \right)^s. H δ s ( k = 1 ⋃ ∞ A k ) ≤ k = 1 ∑ ∞ j = 1 ∑ ∞ α ( s ) ( 2 diam C j k ) s .
取下确界，可得
H δ s ( ⋃ k = 1 ∞ A k ) ≤ ∑ k = 1 ∞ H δ s ( A k ) ≤ ∑ k = 1 ∞ H s ( A k ) . \mathcal{H}_\delta^s \left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) \leq \sum_{k=1}^\infty \mathcal{H}_\delta^s(A_k) \leq \sum_{k=1}^\infty \mathcal{H}^s(A_k). H δ s ( k = 1 ⋃ ∞ A k ) ≤ k = 1 ∑ ∞ H δ s ( A k ) ≤ k = 1 ∑ ∞ H s ( A k ) .
令δ → 0 \delta \to 0 δ → 0
从而我们可以得到他的两个基本性质：
Proposition: H s ( F ) \mathcal{H}^s(F) H s ( F ) ( ( ( , δ ) ,\delta) , δ ) H s ( F ) \mathcal{H}^s(F) H s ( F )
Proposition: $\forall s \ge 0 , \delta > 0 , \mathcal{H}^s_\delta(F) $是 ( ( ( , δ ) ,\delta) , δ ) 外测度 H s ( F ) \mathcal{H}^s(F) H s ( F ) Hausdorff外测度 Hausdorff测度 H s ( F ) \mathcal{H}^s(F) H s ( F )
性质 Hausdorff测度拥有以下几个性质：
H 0 \mathcal{H}^0 H 0 在 R 1 \mathbb{R}^1 R 1 H 1 \mathcal{H}^1 H 1 L 1 \mathcal{L}^1 L 1 对于所有 s > n s > n s > n R n \mathbb{R}^n R n H s \mathcal{H}^s H s 对任意 λ > 0 \lambda > 0 λ > 0 A ⊆ R n A \subseteq \mathbb{R}^n A ⊆ R n H s ( λ A ) = λ s H s ( A ) \mathcal{H}^s(\lambda A) = \lambda^s\mathcal{H}^s(A) H s ( λ A ) = λ s H s ( A ) 对任意仿射等距 L : R n → R n L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n L : R n → R n A ⊆ R n A \subseteq \mathbb{R}^n A ⊆ R n H s ( L ( A ) ) = H s ( A ) \mathcal{H}^s(L(A)) = \mathcal{H}^s(A) H s ( L ( A )) = H s ( A ) 下面我们分别探究他的性质：
Hausdorff 测度与Lesbegue 测度
当$s=n=1\text{时，毫无疑问} \mathcal{H}^s_\delta(F) 就是直线上的勒贝格测度；但是当 就是直线上的勒贝格测度；但是当 就是直线上的勒贝格测度；但是当
Corollary: 在 R n \mathbb{R}^n R n
H s ( x 0 + F ) = H s ( F ) , H s ( λ E ) = λ s H s ( F ) \mathcal{H}^s(x_0 + F) = \mathcal{H}^s(F), \quad \mathcal{H}^s(\lambda E) = \lambda^s \mathcal{H}^s(F) H s ( x 0 + F ) = H s ( F ) , H s ( λ E ) = λ s H s ( F )
其中 x 0 ∈ R n x_0 \in \mathbb{R}^n x 0 ∈ R n λ > 0 \lambda > 0 λ > 0
H s ( F ) = λ s H s ( L λ ( F ) ) \mathcal{H}^s(F) = \lambda ^ s \mathcal{H}^s(L_\lambda (F)) H s ( F ) = λ s H s ( L λ ( F ))
其中 L λ L_\lambda L λ λ \lambda λ
Proof: 若 { U i } \{U_i\} { U i } F F F δ \delta δ { L λ ( U i ) } \{L_\lambda(U_i)\} { L λ ( U i )} L λ ( F ) L_\lambda(F) L λ ( F ) λ δ \lambda\delta λ δ
∑ ∣ L λ ( U i ) ∣ s = λ s ∑ ∣ U i ∣ s \sum |L_\lambda(U_i)|^s = \lambda^s \sum |U_i|^s ∑ ∣ L λ ( U i ) ∣ s = λ s ∑ ∣ U i ∣ s
从而
H λ δ s ( L λ ( F ) ) ≤ λ s H δ s ( F ) \mathcal{H}^s_{\lambda\delta}(L_\lambda(F)) \leq \lambda^s \mathcal{H}^s_{\delta}(F) H λ δ s ( L λ ( F )) ≤ λ s H δ s ( F )
（在取下确界后）。令 δ → 0 \delta \to 0 δ → 0 H s ( L λ ( F ) ) ≤ λ s H s ( F ) \mathcal{H}^s(L_\lambda(F)) \leq \lambda^s \mathcal{H}^s(F) H s ( L λ ( F )) ≤ λ s H s ( F ) L λ L_\lambda L λ L λ − 1 L_\lambda^{-1} L λ − 1 λ \lambda λ 1 / λ 1/\lambda 1/ λ F F F L λ ( F ) L_\lambda(F) L λ ( F )
Proposition: 在 R n \mathbb{R}^n R n
α n H n ( E ) = L n ( E ) \alpha_n \mathcal{H}^n(E) = \mathcal{L}^n(E) α n H n ( E ) = L n ( E )
其中 L n \mathcal{L}^n L n α n \alpha_n α n
∙ \bullet ∙ α n \alpha _n α n
理解这个问题的核心在于，测度理论中，一个测度的“大小”或“尺度”是可以调整的。就像我们可以用米或厘米来测量长度一样，不同的测度定义可能会导致对同一个集合赋予不同的数值，但它们在比例上是相关的。
勒贝格测度的归一化L n \mathcal{L}_n L n n n n L n \mathcal{L}_n L n R n \mathbb{R}^n R n
∙ \bullet ∙ 单位立方体的体积为 1: 这是勒贝格测度最核心的归一化约定。对于 n n n R n \mathbb{R}^n R n Q = [ 0 , 1 ] n = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] × ⋯ × [ 0 , 1 ] Q=[0,1]^n=[0,1]\times [0,1]\times \cdots \times[0,1] Q = [ 0 , 1 ] n = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] × ⋯ × [ 0 , 1 ] n n n L n ( Q ) = 1 \mathcal{L}_n(Q) = 1 L n ( Q ) = 1 a a a a n a^n a n 豪斯多夫测度的定义与隐含的"未归一化"状态( H s ) (\mathcal{H}^s) ( H s ) s s s
H s ( E ) = lim δ → 0 inf { ∑ i ( diam ( U i ) ) s } \mathcal{H}^s(E) = \lim_{\delta \to 0} \inf \left\{ \sum_i (\operatorname{diam}(U_i))^s \right\} H s ( E ) = δ → 0 lim inf { i ∑ ( diam ( U i ) ) s }
其中 diam ( U i ) \operatorname{diam}(U_i) diam ( U i )
这就是为什么我们说原始定义的豪斯多夫测度相对于勒贝格测度来说是"未归一化"的，或者说它的"自然单位"与勒贝格测度的单位不同。
"归一化" 豪斯多夫测度 为了使 $ n $ 维豪斯多夫测度在 $\mathbb{R}^n $ 空间中与 $ n $ 维勒贝格测度直接可比，甚至在数值上相等，就需要对豪斯多夫测度进行``归一化’'。这通常意味着： 在豪斯多夫测度的原始定义前乘以一个特定的常数因子，使得这个""归一化后"的豪斯多夫测度作用于 $\mathbb{R}^n $ 中的标准几何体（如单位立方体或单位球）时，其结果与勒贝格测度一致。
具体来说，如果我们希望归一化后的 $ n $ 维豪斯多夫测度 $ \mathcal{H}{\text{norm}}^n $ 满足 $ \mathcal{H} {\text{norm}}^n(E) = \mathcal{L}^n(E) $ 对于所有 $ E \subset \mathbb{R}^n $ 的博雷尔集成立，那么我们需要找到一个常数 $ \beta_n $ 使得：
H norm n ( E ) = β n H n ( E ) \mathcal{H}_{\text{norm}}^n(E) = \beta_n \mathcal{H}^n(E) H norm n ( E ) = β n H n ( E )
并且 $ \beta_n \mathcal{H}^n(Q) = \mathcal{L}^n(Q) = 1 $ (其中 $ Q $ 是单位立方体)。 这个常数 $ \beta_n $ 就被称为归一化常数。
常数因子的具体形式与来源 如前所述，$ \mathcal{L}^n(A) = \alpha_n \mathcal{H}^n(A) $，其中 $ \mathcal{H}^n $ 指的是未归一化的、基于直径定义的豪斯多夫测度。这个常数 $ \alpha_n $ 的值是：
α n = ω n 2 n = π n / 2 2 n Γ ( n 2 + 1 ) \alpha_n = \frac{\omega_n}{2^n} = \frac{\pi^{n/2}}{2^n \Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} α n = 2 n ω n = 2 n Γ ( 2 n + 1 ) π n /2
这里：
∙ \bullet ∙ ∙ \bullet ∙ n n n n n n n ^ n n α n \alpha ^ n α n 了解了这之后，我们认为两种测度是相等的。下面给出一个证明
Proof: 一方面
L 1 ( A ) = inf { ∑ j = 1 ∞ diam C j ∣ A ⊂ ⋃ j = 1 ∞ C j } ≤ inf { ∑ j = 1 ∞ diam C j ∣ A ⊂ ⋃ j = 1 ∞ C j , diam C j ≤ δ } = H δ 1 ( A ) . \begin{aligned} \mathcal{L}^1(A) & = \inf \left\{ \sum_{j=1}^{\infty} \operatorname{diam} C_j \mid A \subset \bigcup_{j=1}^{\infty} C_j \right\} \\ & \leq \inf \left\{ \sum_{j=1}^{\infty} \operatorname{diam} C_j \mid A \subset \bigcup_{j=1}^{\infty} C_j,\ \operatorname{diam} C_j \leq \delta \right\} \\ & = \mathcal{H}_\delta^1(A). \end{aligned} L 1 ( A ) = inf { j = 1 ∑ ∞ diam C j ∣ A ⊂ j = 1 ⋃ ∞ C j } ≤ inf { j = 1 ∑ ∞ diam C j ∣ A ⊂ j = 1 ⋃ ∞ C j , diam C j ≤ δ } = H δ 1 ( A ) .
令 δ → 0 \delta \to 0 δ → 0 L 1 ≤ H 1 \mathcal{L}^1 \leq \mathcal{H}^1 L 1 ≤ H 1
另一方面
对于固定的 δ \delta δ I k : = [ k δ , ( k + 1 ) δ ] I_k := [k\delta, (k+1)\delta] I k := [ k δ , ( k + 1 ) δ ]
∑ k = − ∞ ∞ diam ( C j ∩ I k ) ≤ diam C j . \sum_{k=-\infty}^{\infty} \operatorname{diam} (C_j \cap I_k) \leq \operatorname{diam} C_j. k = − ∞ ∑ ∞ diam ( C j ∩ I k ) ≤ diam C j .
因而
L 1 ( A ) = inf { ∑ j = 1 ∞ diam C j ∣ A ⊂ ⋃ j = 1 ∞ C j } ≥ inf { ∑ j = 1 ∞ ∑ k = − ∞ ∞ diam ( C j ∩ I k ) ∣ A ⊂ ⋃ j = 1 ∞ C j } ≥ H δ 1 ( A ) . \begin{aligned} \mathcal{L}^1(A) & = \inf \left\{ \sum_{j=1}^{\infty} \operatorname{diam} C_j \mid A \subset \bigcup_{j=1}^{\infty} C_j \right\} \\ & \geq \inf \left\{ \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \operatorname{diam} (C_j \cap I_k) \mid A \subset \bigcup_{j=1}^{\infty} C_j \right\} \\ & \geq \mathcal{H}_\delta^1(A). \end{aligned} L 1 ( A ) = inf { j = 1 ∑ ∞ diam C j ∣ A ⊂ j = 1 ⋃ ∞ C j } ≥ inf { j = 1 ∑ ∞ k = − ∞ ∑ ∞ diam ( C j ∩ I k ) ∣ A ⊂ j = 1 ⋃ ∞ C j } ≥ H δ 1 ( A ) .
令 δ → 0 \delta \to 0 δ → 0 L 1 ≥ H 1 \mathcal{L}^1 \geq \mathcal{H}^1 L 1 ≥ H 1
这说明 Hausdorff 测度 是 Lebesgue 测度 在度量空间中的推广。
严谨具体的证明在Evans书中87-92页 \cite{ref2} 给出
实际上，我们可以证明H n ( E ) \mathcal{H}^n(E) H n ( E )
μ \mu μ R n \mathbb{R}^n R n Borel μ \mu μ μ \mu μ R n \mathbb{R}^n R n Borel regular A ⊆ R n A \subseteq \mathbb{R}^n A ⊆ R n B B B A ⊆ B A \subseteq B A ⊆ B μ ( A ) \mu(A) μ ( A ) μ ( B ) \mu(B) μ ( B ) Proof:
Step 1 H δ s ( F ) 和 H s ( F ) \mathcal{H}^s_\delta(F) \text{和} \mathcal{H}^s(F) H δ s ( F ) 和 H s ( F )
Step 2 H s ( F ) \mathcal{H}^s(F) H s ( F ) B o r e l Borel B ore l
取集合 A , B ⊆ R n A, B \subseteq \mathbb{R}^n A , B ⊆ R n d ( A , B ) > 0 \operatorname{d}(A, B) > 0 d ( A , B ) > 0 0 < δ < 1 4 d ( A , B ) 0 < \delta < \frac{1}{4}\operatorname{d}(A, B) 0 < δ < 4 1 d ( A , B ) A ∪ B ⊆ ⋃ k = 1 ∞ C k A \cup B \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} C_k A ∪ B ⊆ ⋃ k = 1 ∞ C k diam C k ≤ δ \operatorname{diam} C_k \leq \delta diam C k ≤ δ
令 A : = { C j ∣ C j ∩ A ≠ ∅ } \mathcal{A} := \{ C_j \mid C_j \cap A \neq \emptyset \} A := { C j ∣ C j ∩ A = ∅ } B : = { C j ∣ C j ∩ B ≠ ∅ } \mathcal{B} := \{ C_j \mid C_j \cap B \neq \emptyset \} B := { C j ∣ C j ∩ B = ∅ } A ⊆ ⋃ C j ∈ A C j A \subseteq \bigcup_{C_j \in \mathcal{A}} C_j A ⊆ ⋃ C j ∈ A C j ⊆ ⋃ C j ∈ B C j \subseteq \bigcup_{C_j \in \mathcal{B}} C_j ⊆ ⋃ C j ∈ B C j C i ∈ A , C j ∈ B C_i \in \mathcal{A}, C_j \in \mathcal{B} C i ∈ A , C j ∈ B C i ∩ C j = ∅ C_i \cap C_j = \emptyset C i ∩ C j = ∅
∑ j = 1 ∞ α ( s ) ( diam C j 2 ) s ≥ ∑ C j ∈ A α ( s ) ( diam C j 2 ) s + ∑ C j ∈ B α ( s ) ( diam C j 2 ) s \sum_{j=1}^{\infty} \alpha(s) \left( \frac{\operatorname{diam} C_j}{2} \right)^s \geq \sum_{C_j \in \mathcal{A}} \alpha(s) \left( \frac{\operatorname{diam} C_j}{2} \right)^s + \sum_{C_j \in \mathcal{B}} \alpha(s) \left( \frac{\operatorname{diam} C_j}{2} \right)^s j = 1 ∑ ∞ α ( s ) ( 2 diam C j ) s ≥ C j ∈ A ∑ α ( s ) ( 2 diam C j ) s + C j ∈ B ∑ α ( s ) ( 2 diam C j ) s
≥ H δ s ( A ) + H δ s ( B ) . \geq \mathcal{H}^s_\delta(A) + \mathcal{H}^s_\delta(B). ≥ H δ s ( A ) + H δ s ( B ) .
对所有满足条件的覆盖集 { C j } j = 1 ∞ \{C_j\}_{j=1}^{\infty} { C j } j = 1 ∞ H δ s ( A ∪ B ) ≥ H δ s ( A ) + H δ s ( B ) \mathcal{H}^s_\delta(A \cup B) \geq \mathcal{H}^s_\delta(A) + \mathcal{H}^s_\delta(B) H δ s ( A ∪ B ) ≥ H δ s ( A ) + H δ s ( B ) 0 < 4 δ < d ( A , B ) 0 < 4\delta < \operatorname{d}(A, B) 0 < 4 δ < d ( A , B ) δ → 0 \delta \to 0 δ → 0 H s ( A ∪ B ) ≥ H s ( A ) + H s ( B ) \mathcal{H}^s(A \cup B) \geq \mathcal{H}^s(A) + \mathcal{H}^s(B) H s ( A ∪ B ) ≥ H s ( A ) + H s ( B )
H s ( A ∪ B ) = H s ( A ) + H s ( B ) \mathcal{H}^s(A \cup B) = \mathcal{H}^s(A) + \mathcal{H}^s(B) H s ( A ∪ B ) = H s ( A ) + H s ( B )
对所有满足 d ( A , B ) > 0 \operatorname{d}(A, B) > 0 d ( A , B ) > 0 A , B ⊆ R n A, B \subseteq \mathbb{R}^n A , B ⊆ R n H s \mathcal{H}^s H s
Step 3 H s \mathcal{H}^s H s B o r e l Borel B ore l
注意到：对任意集合 C C C diam C ˉ = diam C \operatorname{diam} \bar{C} = \operatorname{diam} C diam C ˉ = diam C
H δ s ( A ) = inf { ∑ j = 1 ∞ α ( s ) ( diam C j 2 ) s ∣ A ⊆ ⋃ j = 1 ∞ C j , diam C j ≤ δ , C j 为闭集 } . \mathcal{H}^s_\delta(A) = \inf \left\{ \sum_{j=1}^{\infty} \alpha(s) \left( \frac{\operatorname{diam} C_j}{2} \right)^s \mid A \subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty} C_j, \operatorname{diam} C_j \leq \delta, C_j \text{ 为闭集} \right\}. H δ s ( A ) = inf { j = 1 ∑ ∞ α ( s ) ( 2 diam C j ) s ∣ A ⊆ j = 1 ⋃ ∞ C j , diam C j ≤ δ , C j 为闭集 } .
取集合 A ⊆ R n A \subseteq \mathbb{R}^n A ⊆ R n H s ( A ) < ∞ \mathcal{H}^s(A) < \infty H s ( A ) < ∞ δ > 0 \delta > 0 δ > 0 H δ s ( A ) < ∞ \mathcal{H}^s_\delta(A) < \infty H δ s ( A ) < ∞ k ≥ 1 k \geq 1 k ≥ 1 { C j k } j = 1 ∞ \{C_j^k\}_{j=1}^{\infty} { C j k } j = 1 ∞ diam C j k ≤ 1 k \operatorname{diam} C_j^k \leq \frac{1}{k} diam C j k ≤ k 1 A ⊆ ⋃ j = 1 ∞ C j k A \subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty} C_j^k A ⊆ ⋃ j = 1 ∞ C j k
∑ j = 1 ∞ α ( s ) ( diam C j k 2 ) s ≤ H 1 k s ( A ) + 1 k . \sum_{j=1}^{\infty} \alpha(s) \left( \frac{\operatorname{diam} C_j^k}{2} \right)^s \leq \mathcal{H}^s_{\frac{1}{k}}(A) + \frac{1}{k}. j = 1 ∑ ∞ α ( s ) ( 2 diam C j k ) s ≤ H k 1 s ( A ) + k 1 .
令 $ A_k := \bigcup_{j=1}^\infty C_j^k ， ， ，
H 1 k s ( B ) ≤ ∑ j = 1 ∞ α ( s ) ( diam C j k 2 ) s ≤ H 1 k s ( A ) + 1 k . \mathcal{H}^s_{\frac{1}{k}}(B) \leq \sum_{j=1}^\infty \alpha(s) \left( \frac{\operatorname{diam} C_j^k}{2} \right)^s \leq \mathcal{H}^s_{\frac{1}{k}}(A) + \frac{1}{k}. H k 1 s ( B ) ≤ j = 1 ∑ ∞ α ( s ) ( 2 diam C j k ) s ≤ H k 1 s ( A ) + k 1 .
令 $ k \to \infty $，可得 $ \mathcal{H}^s(B) \leq \mathcal{H}^s(A) $。但 $ A \subseteq B $，因此
H s ( A ) = H s ( B ) . \mathcal{H}^s(A) = \mathcal{H}^s(B). H s ( A ) = H s ( B ) .
下面我们正式给出五条性质的证明
H 0 \mathcal{H}^0 H 0 在 R 1 \mathbb{R}^1 R 1 H 1 \mathcal{H}^1 H 1 L 1 \mathcal{L}^1 L 1 对于所有 s > n s > n s > n R n \mathbb{R}^n R n H s \mathcal{H}^s H s 对任意 λ > 0 \lambda > 0 λ > 0 A ⊆ R n A \subseteq \mathbb{R}^n A ⊆ R n H s ( λ A ) = λ s H s ( A ) \mathcal{H}^s(\lambda A) = \lambda^s\mathcal{H}^s(A) H s ( λ A ) = λ s H s ( A ) 对任意仿射等距 L : R n → R n L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n L : R n → R n A ⊆ R n A \subseteq \mathbb{R}^n A ⊆ R n H s ( L ( A ) ) = H s ( A ) \mathcal{H}^s(L(A)) = \mathcal{H}^s(A) H s ( L ( A )) = H s ( A ) Proof:
性质 (iv) 和 (v) 的证明是直接的且已经给出。 首先注意到 α ( 0 ) = 1 \alpha(0) = 1 α ( 0 ) = 1 a ∈ R n a \in \mathbb{R}^n a ∈ R n H 0 ( { a } ) = 1 \mathcal{H}^0(\{a\}) = 1 H 0 ({ a }) = 1 取子集 A ⊆ R 1 A \subseteq \mathbb{R}^1 A ⊆ R 1 δ > 0 \delta > 0 δ > 0 L 1 ( A ) = inf { ∑ j = 1 ∞ d i a m C j ∣ A ⊆ ⋃ j = 1 ∞ C j } ≤ inf { ∑ j = 1 ∞ d i a m C j ∣ A ⊆ ⋃ j = 1 ∞ C j , d i a m C j ≤ δ } = H δ 1 ( A ) , \begin{aligned} \mathcal{L}^1(A) & = \inf \left\{ \sum_{j=1}^{\infty} \mathrm{diam}\, C_j \mid A \subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty} C_j \right\}\\ & \leq \inf \left\{ \sum_{j=1}^{\infty} \mathrm{diam}\, C_j \mid A \subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty} C_j,\ \mathrm{diam}\, C_j \leq \delta \right\}\\ & = \mathcal{H}_\delta^1(A), \end{aligned} L 1 ( A ) = inf { j = 1 ∑ ∞ diam C j ∣ A ⊆ j = 1 ⋃ ∞ C j } ≤ inf { j = 1 ∑ ∞ diam C j ∣ A ⊆ j = 1 ⋃ ∞ C j , diam C j ≤ δ } = H δ 1 ( A ) ,
其中 Γ ( 3 2 ) = π 2 \Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} Γ ( 2 3 ) = 2 π α ( 1 ) = 2 \alpha(1) = 2 α ( 1 ) = 2 L 1 ( A ) ≤ H 1 ( A ) \mathcal{L}^1(A) \leq \mathcal{H}^1(A) L 1 ( A ) ≤ H 1 ( A ) I k : = [ k δ , ( k + 1 ) δ ] I_k := [k\delta, (k+1)\delta] I k := [ k δ , ( k + 1 ) δ ] k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z d i a m ( C j ∩ I k ) ≤ δ \mathrm{diam}(C_j \cap I_k) \leq \delta diam ( C j ∩ I k ) ≤ δ ∑ k = − ∞ ∞ d i a m ( C j ∩ I k ) ≤ d i a m C j . \sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathrm{diam}(C_j \cap I_k) \leq \mathrm{diam}\, C_j. k = − ∞ ∑ ∞ diam ( C j ∩ I k ) ≤ diam C j .
因此L 1 ( A ) = inf { ∑ j = 1 ∞ d i a m C j | A ⊆ ⋃ j = 1 ∞ C j } ≥ inf { ∑ j = 1 ∞ ∑ k = − ∞ ∞ d i a m ( C j ∩ I k ) | A ⊆ ⋃ j = 1 ∞ C j } ≥ H δ 1 ( A ) . \begin{aligned} \mathcal{L}^1(A) & = \inf \left\{ \sum_{j=1}^{\infty} \mathrm{diam}\, C_j \, \middle| \, A \subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty} C_j \right\}\\ & \geq \inf \left\{ \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathrm{diam}(C_j \cap I_k) \, \middle| \, A \subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty} C_j \right\}\\ & \geq \mathcal{H}_\delta^1(A). \end{aligned} L 1 ( A ) = inf { j = 1 ∑ ∞ diam C j A ⊆ j = 1 ⋃ ∞ C j } ≥ inf { j = 1 ∑ ∞ k = − ∞ ∑ ∞ diam ( C j ∩ I k ) A ⊆ j = 1 ⋃ ∞ C j } ≥ H δ 1 ( A ) .
综上，对所有 δ > 0 \delta > 0 δ > 0 L 1 = H δ 1 \mathcal{L}^1 = \mathcal{H}_\delta^1 L 1 = H δ 1 R 1 \mathbb{R}^1 R 1 L 1 = H 1 \mathcal{L}^1 = \mathcal{H}^1 L 1 = H 1 固定整数 m ≥ 1 m \geq 1 m ≥ 1 R n \mathbb{R}^n R n Q Q Q m n m^n m n 1 m \frac{1}{m} m 1 n m \frac{\sqrt{n}}{m} m n H n m s ( Q ) ≤ ∑ i = 1 m n α ( s ) ( n m ) s = α ( s ) n s 2 m n − s , \mathcal{H}_{\frac{\sqrt{n}}{m}}^s(Q) \leq \sum_{i=1}^{m^n} \alpha(s) \left( \frac{\sqrt{n}}{m} \right)^s = \alpha(s) n^{\frac{s}{2}} m^{n-s}, H m n s ( Q ) ≤ i = 1 ∑ m n α ( s ) ( m n ) s = α ( s ) n 2 s m n − s ,
当 s > n s > n s > n m → ∞ m \to \infty m → ∞ H s ( Q ) = 0 \mathcal{H}^s(Q) = 0 H s ( Q ) = 0 H s ( R n ) = 0 \mathcal{H}^s(\mathbb{R}^n) = 0 H s ( R n ) = 0 Proposition: 缩放特性（Corollary 1.2.1. 的推广）
设 $ F \subset \mathbb{R}^n $ 且 $ f : F \to \mathbb{R}^m $ 是满足以下条件的映射：
∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ c ∣ x − y ∣ α ( x , y ∈ F ) |f(x) - f(y)| \leq c|x - y|^{\alpha} \quad (x, y \in F) ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ c ∣ x − y ∣ α ( x , y ∈ F )
其中常数 $ c > 0 $ 且 $ \alpha > 0 $。则对每个 $ s $ 有：
H s / α ( f ( F ) ) ≤ c s / α H s ( F ) . \mathcal{H}^{s/\alpha}(f(F)) \leq c^{s/\alpha}\mathcal{H}^s(F). H s / α ( f ( F )) ≤ c s / α H s ( F ) .
Proof: 若 { U i } \{U_i\} { U i } F F F δ \delta δ
∣ f ( F ∩ U i ) ∣ ≤ c ∣ F ∩ U i ∣ α ≤ c ∣ U i ∣ α , |f(F \cap U_i)| \leq c|F \cap U_i|^{\alpha} \leq c|U_i|^{\alpha}, ∣ f ( F ∩ U i ) ∣ ≤ c ∣ F ∩ U i ∣ α ≤ c ∣ U i ∣ α ,
可知 { f ( F ∩ U i ) } \{f(F \cap U_i)\} { f ( F ∩ U i )} f ( F ) f(F) f ( F ) ε \varepsilon ε ε = c δ α \varepsilon = c\delta^{\alpha} ε = c δ α
∑ i ∣ f ( F ∩ U i ) ∣ s / α ≤ c s / α ∑ i ∣ U i ∣ s , \sum_i |f(F \cap U_i)|^{s/\alpha} \leq c^{s/\alpha} \sum_i |U_i|^s, i ∑ ∣ f ( F ∩ U i ) ∣ s / α ≤ c s / α i ∑ ∣ U i ∣ s ,
即 H ε s / α ( f ( F ) ) ≤ c s / α H δ s ( F ) \mathcal{H}^{s/\alpha}_\varepsilon(f(F)) \leq c^{s/\alpha}\mathcal{H}^s_\delta(F) H ε s / α ( f ( F )) ≤ c s / α H δ s ( F ) δ → 0 \delta \to 0 δ → 0 ε → 0 \varepsilon \to 0 ε → 0
条件 (\ref{holder}) 称为指数 α \alpha α H?lder 条件 ，该条件蕴含 f f f α = 1 \alpha = 1 α = 1
∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ c ∣ x − y ∣ ( x , y ∈ F ) , |f(x) - f(y)| \leq c|x - y| \quad (x, y \in F), ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ c ∣ x − y ∣ ( x , y ∈ F ) ,
此时 f f f Lipschitz 映射 ，且成立
H s ( f ( F ) ) ≤ c s H s ( F ) . \mathcal{H}^s(f(F)) \leq c^s\mathcal{H}^s(F). H s ( f ( F )) ≤ c s H s ( F ) .
特别地，(\ref{2.9})式对任意具有有界导数的可微函数均成立：此类函数由中值定理必为 Lipschitz 映射。若 f f f ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ = ∣ x − y ∣ |f(x) - f(y)| = |x - y| ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ = ∣ x − y ∣
H s ( f ( F ) ) = H s ( F ) . \mathcal{H}^s(f(F)) = \mathcal{H}^s(F). H s ( f ( F )) = H s ( F ) .
因此，Hausdorff 测度具有平移不变性（即 H s ( F + z ) = H s ( F ) \mathcal{H}^s(F + z) = \mathcal{H}^s(F) H s ( F + z ) = H s ( F ) F + z = { x + z : x ∈ F } F + z = \{x + z : x \in F\} F + z = { x + z : x ∈ F }
Hausdorff维度 定义 从直觉上来说一个集合的维数是描述这个集合中一点所需的独立参数的个数。比如要描述一个平面里的一点我们需要两个坐标x和y，那么平面的维数便是2。最接近这个想法的数学模型是拓扑维度。可以预见拓扑维度必然是一个自然数。但是拓扑维度在描述某些不规则的集合比如分形的时候遭遇到了困难，而豪斯多夫维数则是一个描述该种集合的恰当工具。
设想有一个由三维空间内具有有限大小的点组成的集合，N N N R R R N N N R R R N ( R ) N(R) N ( R ) R R R N N N N ( R ) N(R) N ( R ) R d R^d R d
N ( R ) ∼ 1 R d N(R) \sim \frac{1}{R^d} N ( R ) ∼ R d 1
当R R R 0 0 0
d = − lim R → 0 log R N d = - \lim_{R \to 0} \log_R N d = − R → 0 lim log R N
这里的d d d Hausdorff维数
下面我们考虑方体的覆盖： 对于一维单位方体Q 1 Q_1 Q 1 1 2 \frac{1}{2} 2 1 1 4 \frac{1}{4} 4 1 δ → 0 \delta \to 0 δ → 0 s = 1 s = 1 s = 1 s < 1 s < 1 s < 1 s > 1 s > 1 s > 1
而这一特性是嵌入不变的，具体来说，如果这个闭区间嵌入了二维平面，下面考虑用二维方体覆盖它，为了方便不妨只考虑与坐标轴平行的方体，我们会发现，用 1 2 \frac{1}{2} 2 1 1 4 \frac{1}{4} 4 1 s = 1 s = 1 s = 1
但是在二维空间中去考察单闭正方形，则用 1 2 \frac{1}{2} 2 1 1 4 \frac{1}{4} 4 1 s = 2 s = 2 s = 2
这说明了一个重要的性质，Hausdorff 测度里的指标 s s s
有了以上探究我们就可以得到 Hausdorff 测度的分界点 性质：设 $ A \subset \mathbb{R}^n $ 为任意集合，$ 0 \leq s < t < \infty $，则：
若 $ \mathcal{H}^s(A) < \infty $，则 $ \mathcal{H}^t(A) = 0 $。 若 $ \mathcal{H}^t(A) > 0 $，则 $ \mathcal{H}^t(A) = +\infty $。 有了这个刻画，我们知道分界点是真的存在的，即对 $ \forall A \subset \mathbb{R}^n $ 存在一个指标 $ s_0 $ 使得 $ s > s_0 $ 时 $ \mathcal{H}^s(A) = 0$; $ s < s_0 $ 时 $ \mathcal{H}^s(A) = +\infty $。我们定义为 Hausdorff 维数。 Definition: 对于任意集合 $ A \subset \mathbb{R}^n $，其Hausdorff 维数定义为：
dim H ( A ) : = inf { 0 ≤ s < ∞ ∣ H s ( A ) = 0 } \operatorname{dim}_{\mathcal{H}}(A) := \inf\{0 \leq s < \infty \mid \mathcal{H}^s(A) = 0\} dim H ( A ) := inf { 0 ≤ s < ∞ ∣ H s ( A ) = 0 }
Remark: 至于正好在分界点 $ s_0 $ 处的Hausdorff 测度，实际上不一定是一个非零有限数，H s 0 ( A ) \mathcal{H}^{s_0}(A) H s 0 ( A ) + ∞ +\infty + ∞
这种维数与空间维数（作为向量空间的维数）之间的关系也是符合直觉的。
Proposition [集合维数不大于其空间维数]: 对于任意 $ s > n $，在 R n \mathbb{R}^n R n H s = 0 \mathcal{H}^s = 0 H s = 0
Proof: 考察单位立方体即可。设 $ Q $ 为单位立方体，可被分解为 $ m^n $ 个边长为 $ \frac{1}{m} $ 的小立方体。以此分解作为 $ Q $ 的覆盖，有估计式：
H n m s ( Q ) ≤ ∑ i = 1 m n α ( s ) ( n m ) s = α ( s ) n s 2 m n − s . \mathcal{H}_{\frac{\sqrt{n}}{m}}^s(Q) \leq \sum_{i=1}^{m^n} \alpha(s) \left( \frac{\sqrt{n}}{m} \right)^s = \alpha(s) n^{\frac{s}{2}} m^{n-s}. H m n s ( Q ) ≤ i = 1 ∑ m n α ( s ) ( m n ) s = α ( s ) n 2 s m n − s .
令 $ m \to \infty $，即得结论。
通常对Hausdorff维数严格定义如下： Definition: Hausdorff维数（又叫 Hausdorff–Besicovitch dimension）被定义为豪斯多夫外测度从零变为非零值跳跃点对应的s s s
dim H ( E ) = inf { s : H s ( E ) = 0 } = sup { s : H s ( E ) = ∞ } \dim_H(E) = \inf \{ s : H^s(E) = 0 \} = \sup \{ s : H^s(E) = \infty \} dim H ( E ) = inf { s : H s ( E ) = 0 } = sup { s : H s ( E ) = ∞ }
性质 Proposition [单调性]: 若 $ E \subset F $，则 dim H E ≤ dim H F \dim_H E \leq \dim_H F dim H E ≤ dim H F Proof: 这直接源于测度性质：对每个 $ s $ 有 H s ( E ) ≤ H s ( F ) \mathcal{H}^s(E) \leq \mathcal{H}^s(F) H s ( E ) ≤ H s ( F )
Proposition [可数稳定性]: 若 $ F_1, F_2, \ldots $ 是可数集合序列，则
dim H ⋃ i = 1 ∞ F i = sup 1 ≤ i < ∞ { dim H F i } \dim_H \bigcup_{i=1}^{\infty} F_i = \sup_{1 \leq i < \infty} \{\dim_H F_i\} dim H i = 1 ⋃ ∞ F i = 1 ≤ i < ∞ sup { dim H F i }
Proof: 由单调性，对每个 $ j $ 有 dim H ⋃ i = 1 ∞ F i ≥ dim H F j \dim_H \bigcup_{i=1}^{\infty} F_i \geq \dim_H F_j dim H ⋃ i = 1 ∞ F i ≥ dim H F j H s ( F i ) = 0 \mathcal{H}^s(F_i) = 0 H s ( F i ) = 0 H s ( ⋃ i = 1 ∞ F i ) = 0 \mathcal{H}^s(\bigcup_{i=1}^{\infty} F_i) = 0 H s ( ⋃ i = 1 ∞ F i ) = 0
Proposition [可数集]: 若 $ F $ 可数，则 dim H F = 0 \dim_H F = 0 dim H F = 0 Proof: 因为若 $ F_i $ 是单点集，则 H 0 ( F i ) = 1 \mathcal{H}^0(F_i) = 1 H 0 ( F i ) = 1 dim H F i = 0 \dim_H F_i = 0 dim H F i = 0 dim H ⋃ i = 1 ∞ F i = 0 \dim_H \bigcup_{i=1}^{\infty} F_i = 0 dim H ⋃ i = 1 ∞ F i = 0
Proposition [开集]: 若 $ F \subset \mathbb{R}^n $ 是开集，则 dim H F = n \dim_H F = n dim H F = n Proof: 因 $ F $ 包含一个具有正 $ n $ 维体积的球，故 dim H F ≥ n \dim_H F \geq n dim H F ≥ n dim H F ≤ n \dim_H F \leq n dim H F ≤ n
Proposition [光滑集]: 若 $ F $ 是 R n \mathbb{R}^n R n dim H F = m \dim_H F = m dim H F = m
Hausdorff 维数的变换性质可直接由命题 2.2 给出的 Hausdorff 测度的相应性质导出。
Proposition: 设 $ F \subset \mathbb{R}^n $，且映射 $ f : F \to \mathbb{R}^m $ 满足 H?lder 条件：
∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ c ∣ x − y ∣ α ( x , y ∈ F ) . |f(x) - f(y)| \leq c|x - y|^{\alpha} \quad (x, y \in F). ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ c ∣ x − y ∣ α ( x , y ∈ F ) .
则 dim H f ( F ) ≤ 1 α dim H F \dim_H f(F) \leq \dfrac{1}{\alpha} \dim_H F dim H f ( F ) ≤ α 1 dim H F
Proof: 若 $ s > \dim_H F $，则由命题 2.2 有：
H s / α ( f ( F ) ) ≤ c s / α H s ( F ) = 0 , \mathcal{H}^{s/\alpha}(f(F)) \leq c^{s/\alpha}\mathcal{H}^s(F) = 0, H s / α ( f ( F )) ≤ c s / α H s ( F ) = 0 ,
这表明对所有 $ s > \dim_H F $ 成立 dim H f ( F ) ≤ s / α \dim_H f(F) \leq s/\alpha dim H f ( F ) ≤ s / α
Proposition: 设 $ F \subset \mathbb{R}^n $ 满足 dim H F < 1 \dim_H F < 1 dim H F < 1 完全不连通 的。
Proof: 设 $ x $ 和 $ y $ 是 $ F $ 中两个不同的点。定义映射 $ f : \mathbb{R}^n \to [0, \infty) $ 为 $ f(z) = |z - x| $。由于 $ f $ 不增大距离（因为 $ |f(z) - f(w)| = \left| |z - x| - |w - x| \right| \leq |(z - x) - (w - x)| = |z - w| $），由推论 2.4(a) 可得：
dim H f ( F ) ≤ dim H F < 1. \dim_H f(F) \leq \dim_H F < 1. dim H f ( F ) ≤ dim H F < 1.
因此 $ f(F) $ 是 R \mathbb{R} R H 1 \mathcal{H}^1 H 1
F = { z ∈ F : ∣ z − x ∣ < r } ∪ { z ∈ F : ∣ z − x ∣ > r } . F = \{ z \in F : |z - x| < r \} \cup \{ z \in F : |z - x| > r \}. F = { z ∈ F : ∣ z − x ∣ < r } ∪ { z ∈ F : ∣ z − x ∣ > r } .
这表明 $ F $ 包含在两个不相交的开集中，其中一个包含 $ x $，另一个包含 $ y $，故 $ x $ 和 $ y $ 位于 $ F $ 的不同连通分支中。
Hausdorff测度的计算示例 例1 设 $ F $ 是 R 3 \mathbb{R}^3 R 3
H 1 ( F ) = 长度 ( F ) = ∞ , 0 < H 2 ( F ) = 4 π × 面积 ( F ) = 4 < ∞ , H 3 ( F ) = 6 π × 体积 ( F ) = 0. \mathcal{H}^1(F) = \text{长度}(F) = \infty, \quad 0 < \mathcal{H}^2(F) = \frac{4}{\pi} \times \text{面积}(F) = 4 < \infty, \quad \mathcal{H}^3(F) = \frac{6}{\pi} \times \text{体积}(F) = 0. H 1 ( F ) = 长度 ( F ) = ∞ , 0 < H 2 ( F ) = π 4 × 面积 ( F ) = 4 < ∞ , H 3 ( F ) = π 6 × 体积 ( F ) = 0.
因此 dim H F = 2 \dim_H F = 2 dim H F = 2 H s ( F ) = ∞ \mathcal{H}^s(F) = \infty H s ( F ) = ∞ H s ( F ) = 0 \mathcal{H}^s(F) = 0 H s ( F ) = 0
例2 设 $ F $ 为如图 1 所示从单位正方形构造的 Cantor 尘埃 。（在构造的每个阶段，正方形被划分为 16 个边长为四分之一的小正方形，并保留相同模式的四个正方形。）则有 $ 1 \leq \mathcal{H}^1(F) \leq \sqrt{2} $，故 dim H F = 1 \dim_H F = 1 dim H F = 1
Calculation: 观察构造的第 $ k $ 阶段 $ E_k $，它由 $ 4^k $ 个边长为 $ 4^{-k} $ 的正方形组成，直径为 $ 4^{-k} \sqrt{2} $。取 $ E_k $ 中的正方形作为 $ F $ 的 δ \delta δ δ = 4 − k 2 \delta = 4^{-k} \sqrt{2} δ = 4 − k 2
H δ 1 ( F ) ≤ 4 k ⋅ 4 − k 2 = 2 . \mathcal{H}_\delta^1(F) \leq 4^k \cdot 4^{-k} \sqrt{2} = \sqrt{2}. H δ 1 ( F ) ≤ 4 k ⋅ 4 − k 2 = 2 .
当 $ k \to \infty $ 时 δ → 0 \delta \to 0 δ → 0 H 1 ( F ) ≤ 2 \mathcal{H}^1(F) \leq \sqrt{2} H 1 ( F ) ≤ 2 proj \operatorname{proj} proj proj \operatorname{proj} proj − 轴上的投影（即 " 阴影 " ） -轴上的投影（即"阴影"） − 轴上的投影（即 " 阴影 " ） [ 0 , 1 ] [0, 1] [ 0 , 1 ]
1 = length [ 0 , 1 ] = H 1 ( [ 0 , 1 ] ) = H 1 ( proj F ) ≤ H 1 ( F ) . 1 = \operatorname{length}[0, 1] = \mathcal{H}^1([0, 1]) = \mathcal{H}^1(\operatorname{proj} F) \leq \mathcal{H}^1(F). 1 = length [ 0 , 1 ] = H 1 ([ 0 , 1 ]) = H 1 ( proj F ) ≤ H 1 ( F ) .
Figure 1: 单位正方形构造的Cantor尘埃
例3 设 $ F $ 为三分 Cantor 集（见图 0.1）。若 $ s = \log 2 / \log 3 = 0.6309 \ldots $，则 dim H F = s \dim_H F = s dim H F = s 1 2 ≤ H s ( F ) ≤ 1 \frac{1}{2} \leq \mathcal{H}^s(F) \leq 1 2 1 ≤ H s ( F ) ≤ 1 Heuristic: Cantor 集 $ F $ 可分为左半部分 $ F_L = F \cap [0, \frac{1}{3}] $ 和右半部分 $ F_R = F \cap [\frac{2}{3}, 1] $。显然这两部分几何相似于 $ F $ 但缩放比例为 1 3 \frac{1}{3} 3 1
H s ( F ) = H s ( F L ) + H s ( F R ) = ( 1 3 ) s H s ( F ) + ( 1 3 ) s H s ( F ) \mathcal{H}^s(F) = \mathcal{H}^s(F_L) + \mathcal{H}^s(F_R) = \left(\frac{1}{3}\right)^s\mathcal{H}^s(F) + \left(\frac{1}{3}\right)^s\mathcal{H}^s(F) H s ( F ) = H s ( F L ) + H s ( F R ) = ( 3 1 ) s H s ( F ) + ( 3 1 ) s H s ( F )
由 Hausdorff 测度的缩放性质（性质 2.1）。假设在临界值 $ s = \dim_H F $ 处有 $ 0 < \mathcal{H}^s(F) < \infty $（这是一个强假设但可被验证），两边除以 H s ( F ) \mathcal{H}^s(F) H s ( F )
Rigorous Calculation: 在 $ F $ 的构造中，称组成集合 $ E_k $ 的区间为第 $ k $ 层区间。因此 $ E_k $ 包含 $ 2^k $ 个长度为 $ 3^{-k} $ 的第 $ k $ 层区间。
取 $ E_k $ 中的区间作为 $ F $ 的 $ 3^{-k} $-覆盖，当 $ s = \log 2/\log 3 $ 时：
H 3 − k s ( F ) ≤ 2 k ⋅ 3 − k s = 1. \mathcal{H}_{3^{-k}}^s(F) \leq 2^k \cdot 3^{-ks} = 1. H 3 − k s ( F ) ≤ 2 k ⋅ 3 − k s = 1.
令 $ k \to \infty $ 得 H s ( F ) ≤ 1 \mathcal{H}^s(F) \leq 1 H s ( F ) ≤ 1 H s ( F ) ≥ 1 2 \mathcal{H}^s(F) \geq \frac{1}{2} H s ( F ) ≥ 2 1 { U i } \{U_i\} { U i }
∑ ∣ U i ∣ s ≥ 1 2 = 3 − s (2.14) \sum |U_i|^s \geq \frac{1}{2} = 3^{-s} \tag{2.14} ∑ ∣ U i ∣ s ≥ 2 1 = 3 − s ( 2.14 )
只需假设 { U i } \{U_i\} { U i } { U i } \{U_i\} { U i }
3 − ( k + 1 ) ≤ ∣ U i ∣ < 3 − k . (2.15) 3^{-(k+1)} \leq |U_i| < 3^{-k}. \tag{2.15} 3 − ( k + 1 ) ≤ ∣ U i ∣ < 3 − k . ( 2.15 )
则 $ U_i $ 至多与一个第 $ k $ 层区间相交（因这些区间间距至少 $ 3^{-k} $))。若 $ j \geq k ，由构造及 ( 2.15 ) ， ，由构造及 (2.15)， ，由构造及 ( 2.15 ) ， { U i } \{U_i\} { U i }
2 j ≤ ∑ i 2 j − 3 s ∣ U i ∣ s 2^j \leq \sum_i 2^{j-3s}|U_i|^s 2 j ≤ i ∑ 2 j − 3 s ∣ U i ∣ s
化简即得 (2.14)。
**计盒维数：**一种常用的覆盖方法，把一个分形图案放在一个均匀分割的网格上，数一数最小需要几个格子来覆盖这个分形。通过对网格的逐步精化，使格子的边长不断逼近于0，查看所需覆盖数目的变化，从而计算出计盒维数。计盒维数与豪斯多夫维数的关系计盒维数与豪斯多夫维数的关系为
dim H F ≤ dim ‾ B F ≤ dim ‾ B F \dim_H F \leq \underline{\dim}_B F \leq \overline{\dim}_B F dim H F ≤ dim B F ≤ dim B F
豪斯多夫维数是不容易直接计算的，一般的可以通过计盒维数（Box-counting dimension）估计到它的一个上界，而且可以通过局部维数（点维数，Local dimension）估计到它的一个下界。一般情况下，我们可以认为计盒维数近似等于豪斯多夫维数。 他使得我们可以用计算的方法逼近求解豪斯多夫维数，python代码示例：
python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt image = np.zeros(( 512 , 512 )) image[ 200 : 300 , 200 : 300 ] = 1 def fractal_box_count (image, min_size = 4 , max_size = None , step = 2 ): shape = image.shape if max_size is None : max_size = min (shape, shape) x, y = np.where(image == 1 ) points = np.column_stack((x, y)) count = [] scales = [] for size in range (min_size, max_size + 1 , step): scales.append(size) boxes = np.ceil(shape / size) * np.ceil(shape / size) if boxes == 0 : count.append( 0 ) continue counts = np.zeros( ( int (np.ceil(shape / size)), int (np.ceil(shape / size))) ) for point in points: i, j = np.floor(point / size).astype( int ) counts[i, j] = 1 count.append(np.sum(counts > 0 )) return np.array(count), np.array(scales) count, scales = fractal_box_count(image) plt.plot(np.log(scales), np.log(count), "bo-" ) plt.xlabel( "log(Grid Size)" ) plt.ylabel( "log(Box Count)" ) plt.title( "Fractal Box Counting" ) plt.show() 分形的相关内容 分形的基本概念 “分形”（Fractal）一词由数学家本诺·曼德勃罗特（Beno?t B. Mandelbrot）于20世纪70年代提出，用于描述那些具有自相似性、不规则性、复杂结构，且在传统欧几里得几何中难以刻画的图形。分形广泛存在于自然界中，如海岸线的曲折、雪花的纹理、树枝的分叉、云的轮廓等，具有以下几个基本特征：
自相似性（Self-similarity） ：分形对象在不同尺度下具有相似的局部结构。自相似可以是严格的（如康托集、谢尔宾斯基三角形）或统计意义上的（如自然地形）。无限细节（Infinite detail） ：分形在任意放大倍数下都显示出结构的复杂性。非整数维数（Fractal dimension） ：传统几何维数（如点的维数为0，线为1，面为2）无法描述分形的复杂程度，必须引入更一般的维数概念。分形维数与Hausdorff维数 为了刻画分形集合的复杂度，数学家们提出了多种维数的定义，其中最为核心和精确的就是Hausdorff维数 。与更直观的盒维数（box-counting dimension）相比，Hausdorff维数基于严格的测度理论，能更准确地反映集合的结构特性。
Hausdorff维数不仅适用于分形集合，也能应用于任意度量空间中的子集。它是通过Hausdorff测度定义的一种临界维数，具体表示为：
dim H ( E ) = inf { s ≥ 0 : H s ( E ) = 0 } = sup { s ≥ 0 : H s ( E ) = ∞ } \dim_H(E) = \inf\left\{ s \geq 0 : \mathcal{H}^s(E) = 0 \right\} = \sup\left\{ s \geq 0 : \mathcal{H}^s(E) = \infty \right\} dim H ( E ) = inf { s ≥ 0 : H s ( E ) = 0 } = sup { s ≥ 0 : H s ( E ) = ∞ }
对许多典型的分形集合来说，其Hausdorff维数为非整数，且与直观观察到的复杂程度相一致。例如：
康托集的Hausdorff维数为 log 2 / log 3 ≈ 0.6309 \log 2 / \log 3 \approx 0.6309 log 2/ log 3 ≈ 0.6309 谢尔宾斯基三角形的Hausdorff维数为 log 3 / log 2 ≈ 1.5849 \log 3 / \log 2 \approx 1.5849 log 3/ log 2 ≈ 1.5849 Hausdorff测度与分形的数学建模 分形理论中的许多研究目标，尤其是在自然科学、图像处理、动力系统等领域，常依赖于对几何结构的精确度量与分析。Hausdorff测度为此提供了一个严密的工具：
能在任意维度下对集合“大小”进行精细的刻画； 能区分不同分形在同一欧几里得空间中所具有的细节结构； 是刻画分形维数的基础，在理论分形研究中不可或缺。 例如，在研究Julia集、Mandelbrot集、布朗运动路径等自然或数学生成的复杂结构时，Hausdorff维数作为衡量其“分形性”的核心指标，为进一步分析其动力学、概率行为等提供了理论基础。 BIBLIOGRAPHY
