距离线性空间

基本概念回顾

线性空间

加法和数乘 符合{8}公设 交换、结合、零元、加法逆、加法分配、数乘分配、数乘结合、数乘单位

线性流形

对加法和数乘封闭的子空间

Hamel基

H线性无关 & H能张成整个线性空间

距离空间

距离函数符合{3}公设 非负、对称、三角

稠密

大集合里的所有元素都有任意靠近他的子集元素

距离空间的完备化

$\langle X,d \rangle$ 等距映射到一个完备空间的稠密子集

列紧

集合的任何序列都有收敛子序列 紧集 = 列紧集 + 闭集

graph LR
    A[一个集合] --> B{是否有界?}
    B -- 否 --> C[绝不是紧集或列紧集]
    B -- 是 --> D{是否有极限?}
    D -- 序列必有收敛子列 --> E[列紧集]
    E --> F{是否包含极限点?}
    F -- 是 --> G[紧集]
    F -- 否 --> H[相对紧但非紧]
    D -- 序列可能发散到无穷 --> I[仅是有界集]

三个条件：非负、齐次、三角

内积空间

平方非负、共轭线性、共轭交换

在 Hilbert 空间中，泛函的概念变得异常简单且强大，这归功于我们之前讨论的 Riesz 表示定理：

• 在 Hilbert 空间 $H$ 中，任何一个连续线性泛函 $f: H \to \mathbb{C}$，其实都对应着空间里的一个固定的向量（函数）$y$。
• 泛函的作用效果等同于做内积：$f(x) = \langle x, y \rangle$。 这意味着： 在 Hilbert 空间里，所有的“观测”（泛函）本质上都是在拿一个“模板” $y$ 去衡量输入 $x$ 的“投影”大小。

关键区分：泛函 (Functional) vs 算子 (Operator)

• 这里的 $\mathbb{K}$ 是 $\mathbb{C}$ 或 $\mathbb{R}$
• 在无穷维空间，“有界”等价于“连续”，这是泛函分析的基础。
• 这样说，Fréchet-Riesz 定理只需要看出目标泛函是“有界+线性”就可以（“连续线性”）

Lax-Milgram 定理

其实就是把 Fréchet − Riesz 表示定理中的内积推广为共轭双线性泛函 内积是一个性质非常好的共轭双线性泛函 我们在这里给他推广，只要满足有界+强正定性质的共轭双线性泛函就可以 然后我们如此给出的$f(x)\to x\in H\to$“内积”-即这个共轭双线性泛函，这个$x$能更加精确估计大小：$\|x\|\le \dfrac{1}{\alpha}\|f\|_{H^*}$

在第三章一定要注意区分各种模、范数、算子范数 关于算子范数有一个等价引理： $\displaystyle \|T\|=\sup_{\|x\|=\|y\|=1}\{|(Tx,y)|\}$

比如： 例1 $K(s,t)$是$[0,1]^2$上的连续函数，$C[0,1]$上的积分算子$(Ax)(s)=\int_0^1K(s,t)x(t)\mathrm{d}t$ 求范数：

1. $Ax$作为向量的模：$|(Ax)(s)| \le \left( \int_0^1 |K(s,t)| dt \right) \cdot \|x\|_\infty$
2. $\|Ax\|$在$C[0,1]$空间的无穷范数 $\|Ax\|_\infty = \max_{s \in [0,1]} |(Ax)(s)| \le \max_{s \in [0,1]} \left[ \left( \int_0^1 |K(s,t)| dt \right) \cdot \|x\|_\infty \right]\le \left( \max_{s \in [0,1]} \int_0^1 |K(s,t)| dt \right) \cdot \|x\|_\infty$
3. $A$的算子范数（对 $x$ 取上确界）$\|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \max_{s \in [0,1]} \int_0^1 |K(s,t)| dt$
4. 然后验证能取得等号即可，存在$x$

注意一个命题：$A,B\in L(X)$则$AB\in L(X)$，而且$\|AB\|\le \|A\|\|B\|$

范数的强于和等价

两个范数互相强于($\|\cdot\|_{1}$收敛 $\Rightarrow\|\cdot\|_{2}$收敛)另一个则叫等价 等价范数就是在说他们是同阶的：$r_{1}\le \dfrac{\|x\|_{2}}{\|x\|_{1}}\le r_{2}$ 而且，线性空间上的两个范数如果都使其成为Banach空间那么两个范数等价

算子的逆

算子像的缩小比例有下界则可逆连续，类似Lax-Milgram说的强正定，不会把非零$x$映为$0$

压缩算子的性质

Banach空间X，$A\in L(X)$，$\|A\|< 1$则$I-A$有界可逆而且$(I-A)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}A^n$ $\|(I-A)^{-1}\|\le \dfrac{1}{1-\|A\|}$

• $L(X)$中全体有界可逆元形成一个开集

Banach扩张定理

实线性流形$G\subset X$上的实线性泛函$f(x)$，如果有$X$上的实值泛函$p(x)$，使得

1. $p(x+y)\le p(x)+p(y),\ p(tx)=tp(x);\ x,y\in X,t\ge 0$
2. $f(x)\le p(x),\ \text{当}x\in G$ 则存在$X$上的实线性泛函$F(x)$，使得$F(x)=f(x),\ \text{当}x\in G$ 且$F(x)\le p(x),\ \text{当}x\in X$

所谓“控制延拓”，$f$ 在 $G$ 以外能被 $p$ 控制那么就存在延拓 $F$（同样被 $p$ 控制）

复值的也类似，然后总结出Hahn-Banach：

Hahn-Banach

赋范线性空间 $X$ 上的线性流形 $G$，有 $G$ 上的连续线性泛函$f(x)$ ，如此始终有 $f$ 的扩张$F(x)$：

1. $F(x)=f(x),\ x\in G$
2. $\|F\|=\|f\|_{G}$

说的就是：赋范线性空间的流形上的泛函恒可以保范扩张

在非零的赋范线性空间上总存在非零的连续线性泛函，但是一般的距离线性空间就不行了。eg：S[0,1]不能赋以范数

“范数”通过凸性保证了泛函的丰富性，而一般的“距离”则可能让空间变得过于“扁平”，以至于无法支撑起任何非零的线性泛函。

Hahn-Banach定理的两种常见几何表达

A. 点与集的严格分离

如果 $K$ 是一个闭凸集，$x_0 \notin K$，那么存在一个连续线性泛函 $f$ 和常数 $c$，使得：

$f(x) \le c < f(x_0) \quad \forall x \in K$

理解：这意味着 $x_0$ 处的“高度”严格大于整个 $K$ 集合的“最高点”。

B. 两个凸集的分离（支撑平面）

如果 $A$ 和 $B$ 是两个互不相交的凸集，且其中一个有内点（比如是开集），那么存在一个超平面将它们分开。

特殊情况：支撑定理。如果点 $x_0$ 在凸集 $K$ 的边界上，你总能找到一个超平面“贴”在 $K$ 的边缘通过 $x_0$，但不穿过 $K$ 的内部。这就像在球体表面放一块平整的切板。

C. 书上讲的用线性簇

线性簇：线性流形G，比如一条直线。$x_0+x,\ x\in G$，这样线性簇 $g$ 就是一个小条带，定理说我们可以扩张到一个超平面（存在超平面包含g而与凸集不相交）

分离定理中关于集合性质的描述

• 平衡： 说的是$x\in M,|\lambda|\le 1$总有$\lambda x \in M$，也就是说集合内部没有空腔而且关于原点对称，反例就是[0,2]、单位球挖去里面的原点邻域球等
• 吸收： 说的是可以把整个空间的任意向量压缩到$M$里面，如果是闭的那一定有原点（$\varepsilon\to 0$）]

半范数

设 $X$ 是线性空间，映射 $p: X \to \mathbb{R}$ 称为半范数，如果它满足以下两条性质：

1. 次可加性 (三角不等式)：$p(x+y) \le p(x) + p(y)$。
2. 绝对齐次性：$p(\alpha x) = |\alpha| p(x)$。

可以把半范数想象成一种降维观测

• 投影视角：想象在三维空间里，我们只看一个向量在 $x-y$ 平面上的投影长度。
  • 对于向量 $v = (0, 0, 1)$，它的投影长度是 0。
  • 虽然 $v$ 不是零向量，但在这个“观测方式”下，它的大小是 0。
• 核 (Kernel / Null Space)：所有满足 $p(x) = 0$ 的点构成的集合 $N$ 是一个线性子空间。在这个子空间里的所有向量，在半范数 $p$ 的眼里都是“透明”的。

闵可夫斯基泛函

一种经典的重要的半范数Minkowski泛函，也叫示性函数 (Gauge) $p_M(x) = \inf \{ t > 0 : \frac{x}{t} \in M \}$

这个公式的直觉非常美：

• 把 $M$ 看作是一个“容器”。
• 为了把向量 $x$ 装进这个容器，你需要把容器放大 $t$ 倍。
• 那个刚好能装下 $x$ 的最小放大倍数 $t$，就是 $x$ 的“长度”（半范数）。
• 反过来其实就是看 $x$ 缩小到 $M$ 所需要的倍数

弱序列闭集

设 $X$ 为赋范线性空间，$M \subset X$。 如果对于 $M$ 中的任意序列 $\{x_n\}$，只要它弱收敛于 $x$（记作 $x_n \rightharpoonup x$），就有 $x \in M$，那么称 $M$ 是弱序列闭集。

• 弱收敛的含义：对于所有连续线性泛函 $f \in X^*$，都有 $f(x_n) \to f(x)$。
• 弱序列闭 $\Rightarrow$ 强闭： 这是显然的。因为强收敛（范数收敛）一定能推出弱收敛。如果一个集合连弱极限都能锁住，那它肯定能锁住强极限。
• 强闭$\nRightarrow$弱序列闭：在无穷维空间中，很多范数意义下的闭集在弱拓扑下会“漏水”。
  • eg：单位球面 $S = \{x : \|x\| = 1\}$。
  • 在 Hilbert 空间中，标准正交基序列 $\{e_n\}$ 满足 $\|e_n\| = 1$，所以它们都在单位球面上。
  • 但是 $e_n \rightharpoonup 0$（弱收敛到原点）。
  • 原点 $0$ 的范数是 $0$，不在球面上。
  • 结论：单位球面是强闭的，但不是弱序列闭的。

• 马祖尔定理 (Mazur’s Theorem)：凸性的桥梁

• 对于赋范线性空间中的凸集，其强闭性与弱序列闭性是等价的。

无处稠密 / 无内点

纲

第一纲：距离空间 $X$ 中 $E=\bigcup_{n=1}^{\infty}S_{n}$，而每个$S_{n}$都是$X$中无处稠密的，那么称$E$是第一纲的 第二纲：不是第一纲的叫第二纲

贝尔纲定理 (Baire Category Theorem)

只要空间是完备的（比如序列空间 $(s)$），你就不可能仅仅通过叠加这种“没厚度”的薄片（无处稠密集）来填满整个厚实的空间。

严格叙述就是说：完备的距离空间必然是第二纲的

一致有界原理 / 共鸣定理

设 $X$ 是一个 Banach 空间（完备性是关键），$Y$ 是一个赋范线性空间。设 $\{T_\alpha\}_{\alpha \in A}$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的一族有界线性算子。 如果对于每一个固定的 $x \in X$，这族算子在 $x$ 处的取值都是有界的，那么，这族算子的范数集合也必然是有界的，即$\sup_{\alpha \in A} \|T_\alpha x\| < \infty \implies \sup_{\alpha \in A} \|T_\alpha\| < \infty$

例：证明多项式在 $C[0,1]$ 中稠密

Bernstein多项式：对于任意 $f \in C[0,1]$，定义 $n$ 次多项式 $B_n(f; x)$ 为：

$B_n(f; x) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}$ 记 $b_{n,k}(x) = \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}$：

1. 总和为 1：$\sum_{k=0}^n b_{n,k}(x) = 1$
2. 一阶矩（期望）：$\sum_{k=0}^n \frac{k}{n} b_{n,k}(x) = x$
3. 二阶矩（方差相关）：$\sum_{k=0}^n \left(\frac{k}{n} - x\right)^2 b_{n,k}(x) = \frac{x(1-x)}{n}$

直观理解：$b_{n,k}(x)$ 可以看作随机变量 $X \sim B(n, x)$ 取值为 $k$ 的概率。当 $n$ 很大时，样本平均值 $k/n$ 会高度集中在期望值 $x$ 附近。

我们要证明：对任意 $\epsilon > 0$，当 $n$ 足够大时，对于所有 $x \in [0,1]$，都有 $|B_n(f; x) - f(x)| < \epsilon$。 $|B_n(f; x) - f(x)| = \left| \sum_{k=0}^n \left( f\left(\frac{k}{n}\right) - f(x) \right) b_{n,k}(x) \right|$ $|B_n(f; x) - f(x)| \le \sum_{k=0}^n \left| f\left(\frac{k}{n}\right) - f(x) \right| b_{n,k}(x)$ 由于 $f$ 在紧区间 $[0,1]$ 上连续，它必然是一致连续的。因此对于给定的 $\epsilon$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - y| < \delta$ 时，$|f(x) - f(y)| < \epsilon/2$。 同时，$f$ 是有界的，设 $|f(x)| \le M$。我们将求和号下的索引 $k$ 分成两部分：

• 集合 $K_1$：满足 $|\frac{k}{n} - x| < \delta$ 的点（距离 $x$ 较近的点）
• 集合 $K_2$：满足 $|\frac{k}{n} - x| \ge \delta$ 的点（距离 $x$ 较远的点）

分段估计：

1. 对于 $K_1$ 部分： 由于此时 $|k/n - x| < \delta$，根据一致连续性，$|f(k/n) - f(x)| < \epsilon/2$。 $\sum_{k \in K_1} |f(k/n) - f(x)| b_{n,k}(x) < \frac{\epsilon}{2} \sum_{k \in K_1} b_{n,k}(x) \le \frac{\epsilon}{2} \cdot 1 = \frac{\epsilon}{2}$
2. 对于 $K_2$ 部分： 由于 $|f(k/n) - f(x)| \le 2M$，且在 $K_2$ 中满足 $\frac{(k/n - x)^2}{\delta^2} \ge 1$，我们有： $\sum_{k \in K_2} |f(k/n) - f(x)| b_{n,k}(x) \le 2M \sum_{k \in K_2} b_{n,k}(x) \le 2M \sum_{k \in K_2} \frac{(k/n - x)^2}{\delta^2} b_{n,k}(x)$ 利用恒等式 (3)： $\text{Sum}_{K_2} \le \frac{2M}{\delta^2} \sum_{k=0}^n (k/n - x)^2 b_{n,k}(x) = \frac{2M}{\delta^2} \frac{x(1-x)}{n}$ 由于 $x(1-x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值是 $1/4$，所以： $\text{Sum}_{K_2} \le \frac{2M}{\delta^2} \cdot \frac{1}{4n} = \frac{M}{2\delta^2 n}$ $|B_n(f; x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{M}{2\delta^2 n} <\epsilon ,\ \ as\ n\to \infty$

开映射定理

• Banach空间$X,Y$，$T\in L(X,Y)$，如果$R(T)$是第二纲的那么 $T$ 映开集的像也是开集（就是所谓开映射）
• 设 $X$ 和 $Y$ 都是Banach 空间。若 $T: X \to Y$ 是一个有界（连续）线性算子，且 $T$ 是满射，则 $T$ 是一个开映射。 两个叙述等价，也即 $R(T)\text{第二纲} \Leftrightarrow T\text{是满射}$ 推论： Banach空间上的连续线性算子的像一定是第一纲点集或者全空间

Banach逆算子定理

Banach空间$X,Y$，$T\in L(X,Y)$，如果 $T$ 是双射那么 $T^{-1}$连续

算子的图形

定义：$G(T)=\{\langle x,y \rangle \in X \times Y: x\in \mathcal{D}(T),y=Tx\}$闭算子（说的是T对x,y的极限封闭）等价于T的图形是闭集

闭图形定理

$T$ 是Banach空间 $X\to Y$处处有定义的闭算子，那么 $T$ 是有界的

作用？

1. $x_{n}\to x_{0}$
2. $Tx_n \to y_0$
3. $Tx_0 = y_0$ 要证明 $T$ 在 $x_{0}$ 连续，需要$1. \Rightarrow 2. \& 1. \Rightarrow 3.$，但是闭图形定理让我们只要从1和2推3就可以

推论：Hellinger-Toeplitz定理

Hilbert空间$H$上的线性算子$A$，如果$(Ax,y)=(x,Ay)$则$A$有界

对偶空间 / 共轭空间

设 $X$ 是一个赋范线性空间。$X$ 的 对偶空间 $X'$ 是指定义在 $X$ 上的所有连续线性泛函组成的集合。

• 定理： 对偶能传递可分性——Banach空间X的对偶空间X’可分那么X可分

• 定理： $l^1$ (曼哈顿距离)空间上连续线性泛函 $f\in (l^1)'$ 可表示为： $f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_{n}x_{n}$ 其中 $x=\{x_{n}\}\in l^1$，$a=\{a_{n}\}\in (m)$，$\|f\|=\|a\|=\sup{|a_{n}|}$

• 定理： $C[0,1]$上所有连续线性泛函 $f \in C[0,1]^*$ 都可以对应有界变差函数 $g(t)$ 积分来表示： $f(x) = \int_0^1 x(t) \mathrm{d}g(t)$ 这里的 $g$ 显然不是唯一的，进行限制 $g(t)\in V_{0}[0,1]$ 之后则 $f$ 唯一对应 $g$，此时还有：

• 定理： $(C[0,1])'$ 与 $V_{0}[0,1]$ 保范线性同构

$V_0[0,1]$ 是由满足以下三个条件的函数 $g(x)$ 组成的集合：

1. 有界变差：$g(x)$ 在 $[0,1]$ 上是有界变差函数（$V_0^1(g) < \infty$）。
2. 左端点归零：$g(0) = 0$。
3. 右连续性：$g(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 内处处右连续，即 $g(x+0) = g(x)$。

• 定理： $L^p[a,b]$上的有界线性泛函 $f$，存在唯一 $y\in L^q[a,b],\ q=\dfrac{p}{p-1}$，使得： $f(x)=\int_{a}^bx(t)y(t)\mathrm{d}t$ 其中$\displaystyle \|\ f\ \|=\|\ y\ \|=\Big(\int_{a}^b|y(t)|^q\mathrm{d}t\Big)^{1/q}$
• 定理： $l^p$ 的有界线性泛函 $f$ 可以表示为： $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\xi_{k}\quad x=\{\xi_{k}\}_{k=0}^{\infty}\in l^p$ 其中 $\displaystyle \|f \|=\|c\|=\Big(\sum_{k=1}^{\infty}|c_{k}|^q\Big)^{1/q}$

这样的话，有等距同构 $\Phi:(L^p)'\to L^q,\ (L^p)'\cong L^q$

二次对偶空间

Banach空间 $X$，对偶空间 $X'$，二次对偶 $X''$ $x_{0}(t)\in X \longrightarrow x_{0}'(x_{0})\in X'\longrightarrow x''_{0}(x_{0}')\in X''$ 典型映射： $\tau: X \to X'', \tau(x_{0})=x_{0}''$

自反空间

定义: 如果 $\tau(X)=X''$ 则称之为自反的

• 有限维赋范线性空间都是自反的
• 自反性的研究正是为了保证有限维赋范线性空间的定理在无限维上仍然成立
• 一个 Banach 空间 $X$ 是自反的，当且仅当它的自然嵌入映射 $J: X \to X^{**}$ 是满射。 其中 $J(x)$ 定义为：$J(x)(f) = f(x)$，对于所有 $f \in X^*$
• 定理： 自反的Banach空间的任何子空间自反

$L^p$ 与 $L^q$（以及 $l^p$ 与 $l^q$）是相互对偶的 但是 $l^1$ 的对偶空间是 $l^\infty$，反之不成立。$l^{\infty}$ 的对偶空间很复杂

有界线性算子谱论

谱的概念本质上是在问：对于哪些复数 $\lambda$，算子 $(T - \lambda I)$ 是“不健康”的（不可逆）？

如何快速判断 $\lambda$ 的身份？

你可以按照这个逻辑图进行自我检测：

graph TD
    A([开始判断 λ]) --> B{"方程 λI - T x = 0 <br>是否有非零解?"}
    
    B -- 有 --> C["**点谱** σₚ(T)<br>(λ 为特征值)"]
    B -- 没有 --> D{"值域 R(λI - T)<br>是否等于全空间 X?"：验证**双射+逆算子有界**}
    
    D -- 是 --> E["**预解集** ρ(T)<br>(λ 为正则值)"]
    D -- 否 --> F{"值域闭包 R(λI - T)⁻<br>是否等于全空间 X?"}
    
    F -- "是 (稠密)" --> G["**连续谱** σ꜀(T)"]
    F -- "否 (不稠密)" --> H["**剩余谱** σᵣ(T)"]

    %% 样式美化
    style E fill:#e1f5fe,stroke:#01579b,stroke-width:1px
    style C fill:#fff9c4,stroke:#fbc02d,stroke-width:2px
    style G fill:#f1f8e9,stroke:#33691e,stroke-width:2px
    style H fill:#ffebee,stroke:#b71c1c,stroke-width:2px

如何判断预解集？

• 逆算子是满射：即 $R(\lambda I - T) = X$。这保证了算子是“满射”的，方程 $(\lambda I - T)x = y$ 对任何 $y$ 都有解。

• 逆算子有界：即 $(\lambda I - T)^{-1} \in L(X)$。这意味着逆映射不仅存在，而且是连续的、稳定的。

隐藏的前提：课本定义中提到 $(\lambda I - T)^{-1}$ 存在，这实际上已经包含了 $\lambda I - T$ 必须是“单射”的意思（即 $\lambda$ 不是特征值）。

也就是说，任意一个算子 $T$ 把复数域 $\mathbb{C}$ 分成了四部分：\begin{align*}\mathbb{C}&=\rho(T)\ \bigcup \ \sigma(T)\\ &=\rho(T)\ \bigcup \ \sigma_{p}(T)\ \bigcup \ \sigma_{c}(T)\ \bigcup\ \sigma_{r}(T) \end{align*} 而且，$\begin{cases} \ |\lambda|>\|T\|\quad 则 \lambda\in\rho(T)\\ \\ \ |\lambda|\le\|T\|\quad 则\lambda\in \sigma(T) \end{cases}$

一个重要的引理： 对于 Hilbert 空间中的任何有界线性算子 $A$，其值域的交补等于其共轭算子的零空间，即： $R(A)^\perp = \text{ker}(A^*)$

自共轭算子的谱

• 自共轭算子的谱 $\sigma(T)$ 必然在实轴上，即 $\sigma(T) \subset \mathbb{R}$。

  • 特征值（点谱）是实数：如果 $Tx = \lambda x$ 且 $x \neq 0$，利用自共轭性 $\langle Tx, x \rangle = \langle x, Tx \rangle$，可以推导出 $\lambda \langle x, x \rangle = \bar{\lambda} \langle x, x \rangle$。因为 $\langle x, x \rangle > 0$，所以 $\lambda = \bar{\lambda}$。
  • 整个谱都是实数：不仅是点谱，连续谱和剩余谱（如果存在的话）中的 $\lambda$ 也必须是实数。如果 $\lambda$ 带有虚部，算子 $\lambda I - T$ 总是可以证明是可逆且有界的，因此虚数点必然落在预解集 $\rho(T)$ 中。

• 自共轭算子的剩余谱必然为空集，即 $\sigma_r(T) = \emptyset$。

谱半径

定义

设 $T$ 是 Banach 空间 $X$ 上的有界线性算子，其谱半径 $r(T)$ 定义为谱集 $\sigma(T)$ 中元素绝对值的上确界： $r(T) = \sup \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(T) \}$ 从几何上看，谱半径是包含整个谱集 $\sigma(T)$ 的最小闭圆盘的半径。

谱半径公式 (Gelfand 公式)

这是由数学家 Gelfand 证明的一个极其重要的极限公式，它建立了算子幂的范数与谱分布之间的定量联系： $r(T) = \lim_{n \to \infty} \|T^n\|^{1/n}$

• 存在性：对于任何有界线性算子，这个极限始终存在且唯一。
• 计算意义：虽然谱集 $\sigma(T)$ 有时很难求解，但通过计算算子幂的范数极限，我们可以直接得到谱半径。

Neumann 级数

Neumann 级数（Neumann Series）是线性代数中矩阵逆公式 $(I-A)^{-1} = \sum A^n$ 在有界线性算子上的推广。

设 $T \in L(X)$ 是 Banach 空间 $X$ 上的有界线性算子。如果算子的谱半径满足 $r(T) < |\lambda|$，那么：

1. 算子 $\lambda I - T$ 是可逆的（即 $\lambda$ 属于预解集 $\rho(T)$）。
2. 其逆算子（预解式）可以用级数形式表示：$(\lambda I - T)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{T^n}{\lambda ^ {n+1}}$
3. 该级数在算子范数 $\|\cdot\|$ 意义下绝对收敛。

重要作用：估计谱的范围

所有的谱点 $\lambda \in \sigma(T)$ 必须满足 $|\lambda| \le r(T)$。因为一旦 $|\lambda| > r(T)$，级数就收敛，意味着 $(\lambda I - T)$ 一定有界可逆，那么 $\lambda$ 就不可能在谱集里。

移位算子的关系

左右移位算子 $T_R,T_{L}$ 相互共轭 $(T_{R}^*=T_{L})$，同理 $T_L= T_R^*$

右移位算子 $T_R$ 的谱分解

定义：$T_R(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$。其谱集为 $\sigma(T_R) = \{ \lambda \in \mathbb{C} : |\lambda| \le 1 \}$。

• 点谱 $\sigma_p(T_R) = \emptyset$：
• 剩余谱 $\sigma_r(T_R) = \{ \lambda \in \mathbb{C} : |\lambda| < 1 \}$：
• 连续谱 $\sigma_c(T_R) = \{ \lambda \in \mathbb{C} : |\lambda| = 1 \}$：

左移位算子 $T_L$ 的谱分解

定义：$T_L(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$。其谱集同样为 $\sigma(T_L) = \{ \lambda \in \mathbb{C} : |\lambda| \le 1 \}$。

• 点谱 $\sigma_p(T_L) = \{ \lambda \in \mathbb{C} : |\lambda| < 1 \}$：
• 剩余谱 $\sigma_r(T_L) = \emptyset$：
• 连续谱 $\sigma_c(T_L) = \{ \lambda \in \mathbb{C} : |\lambda| = 1 \}$：

紧算子

紧算子 (Compact Operator) 是研究得最透彻的一类算子。可以把它直观地理解为：

无限维空间中“最像有限维矩阵”的算子。

在无限维空间中，有界集不一定是列紧的。紧算子的作用就是通过“压缩”作用，把原本发散的有界集拉回到紧凑的状态。

定义

设 $X, Y$ 是两个 Banach 空间，线性算子 $T: X \to Y$ 被称为紧算子，如果满足以下任一等价条件：

• 几何定义：$T$ 把 $X$ 中的每一个有界集映成 $Y$ 中的列紧集（相对紧集）。
• 序列定义：对于 $X$ 中的任何有界序列 $\{x_n\}$，其像序列 $\{Tx_n\}$ 在 $Y$ 中都存在收敛的子序列。 即：$\forall \ 有界\{x_{n}\}_{n=1}^\infty \subset X,\ \{Ax_{n}\}有收敛子列$，$\{x_{n}\}$换成集合同样

常见的紧算子

1. 有限秩算子：$A\in L(X),\dim{R(A)}<\infty$，根据有限维有界集的列紧性即可
2. 积分算子：$K(s,t)\in C[0,1]^2$，积分算子$\displaystyle A\ \mathrm{on}\ C[0,1]:\ Ax(s)=\int_{0}^1K(s,t)x(t)\mathrm{d}{t}$，借助Arzelà-Ascoli 定理证明列紧性

$\mathscr{K}(X)$表示 $X$ 上所有的紧算子

性质

1. 紧算子的线性封闭

2. 紧算子$\mathscr{K}(X)$ 是 $L(X)$ 的非零双边理想

   • $\mathscr{K}(X)\subset L(X)$
   • $x,y \in \mathscr{K}(X),z\in L(X):\ zx\in \mathscr{K}(X)$，双边所以 $xz$ 也是

3. 在范数收敛下是闭的： $\{A_{n}\}_{n=0}^\infty\in \mathscr{K}(X)$ ，若 $\|A_{n}-A\|\to {0}$ 则 $A\in \mathscr{K}(X)$

   • eg：$L^2(\mathbb{R^2})\ 上的算子A是紧算子$ $\displaystyle K(x,y)\in L^2(\mathbb{R^2})，Af(x)=\int_{a}^bK(x,y)f(y)\mathrm{d}y$
   • 关于 $L^2(\mathbb{R^2})$ 上的积分算子：

4. 紧算子能增强收敛性： $A$ 是紧算子，$x_{n}\overset{w}{\longrightarrow}x,则Ax_{n}\to Ax_{0}$ 这其实就是由于紧算子的压缩性质（有界$\to$列紧）

5. 在无穷维空间中，单射紧算子不可能是满的 $X$ 是无穷维的，$A$ 是紧算子且是单射（即没有非零解满足 $Ax=0$），那么它的值域 $R(A)$ 一定填不满整个空间 $X$。

   结论： 对于无穷维空间上的紧算子，$0$ 永远在谱集 $\sigma(A)$ 中

   • 情形 A：如果 $A$ 不是单射，那么 $0$ 就是特征值，即 $0 \in \sigma_p(A)$。
   • 情形 B：如果 $A$ 是单射，根据命题 3.1，$R(A) \neq X$。这意味着 $0$ 绝对不可能在预解集 $\rho(A)$ 中。
     • 如果值域稠密（$\overline{R(A)}=X$），则 $0 \in \sigma_c(A)$（连续谱）。
     • 如果值域不稠密，则 $0 \in \sigma_r(A)$（剩余谱）。

6. $R(A)$ 一定是可分的

7. 算子共轭能传递算子紧性

   • 算子$A$ 是紧的当且仅当$A'$ 也是紧的
   • $A\in \mathscr{K}(X)$，则其共轭算子$A'\in \mathscr{K}(X')$

紧算子的可逼近性

可分Hilbert空间 $H$ 上的紧算子 $A$ 则存在一列有限秩算子 $\displaystyle A_{n},\ \lim_{ n \to \infty }\|A_{n}-A\|=0$

关于无穷维空间，带基Banach空间： 可分Banach空间 $X$ 中有一串 $\{ e_{j} \}_{j=1}^\infty$ 使每个 $x\in X$ 可唯一表为$x=\sum_{j=1}^\infty \xi_{j}e_{j}$ $\mathrm{RHS}$ 依范数收敛则称 $\{ e_{j} \}_{j=1}^\infty$ 为 $X$ 的基

紧算子谱理论（Riesz-Schauder 理论）

命题1

紧算子的非零特征值的特征空间是有限维的 对于紧算子 $A$ 和任何非零的 $\lambda$，特征空间 $\ker(A - \lambda I)$ 必须是有限维的。

Riesz 引理：一个空间的单位球是列紧的，当且仅当该空间是有限维的

命题2

紧算子的非零特征值的特征算子值域是闭的 当 $\lambda \neq 0$ 时，算子 $A - \lambda I$ 的值域 $R(A - \lambda I)$ 永远是闭集。

命题3

紧算子的特征算子 $\lambda I - A$，单射必导致满射。 $\ker(\lambda I - A) = \{0\}$ 则 $R(\lambda I - A) = X$ 注意这里说的是特征算子 $\lambda I - A$，而在无穷维空间中，单射紧算子 $A$ 不可能是满的 也就是说，单射紧算子 $A$ 不可能是满的，非特征值（$\ker=\{ 0 \}$）的 $\lambda I - A$ 一定是满的

命题2.1

对于 $T = I - A$，$T$ 是单射当且仅当其共轭算子 $T'$ 是单射。 $\dim \ker(I-A) = \dim \ker(I-A)'$

注意这里的讨论中有一个等价：$T是单射 \Longleftrightarrow \dim \ker(T) = 0 \Longleftrightarrow \ker(T)={0}$

命题2.2

$A\in \mathscr{K}(X),\ \forall \lambda\ne 0$有$\dim \ker(\lambda I-A)=\dim \ker(\lambda I-A')<\infty$

以上为了引出重要的两则一定理

两则一定理

$A\in \mathscr{K}(X),\ \forall \lambda\ne 0$有$\lambda\in \rho(A)\ 或\ \lambda\in \sigma_{p}(A)$ 对于紧算子而言非零数 $\lambda$ 要么是特征值要么是正则值

而 $0$ 的讨论在上面已经有了：对于无穷维空间上的紧算子，$0$ 永远在谱集 $\sigma(A)$ 中

自伴算子 / 自共轭算子

1. 谱集必然在实轴上 $\sigma(T)\subset \mathbb{R}$
2. 剩余谱必然为空集
3. $T$ 是自伴的 $\Leftrightarrow$ $(Tx,x)\in \mathbb{R}$
4. $T$ 是自伴的则 $\displaystyle \|T\|=\sup_{\|x\|=1}\{(Tx,x)\}$
5. $\|T^*T\|=\|T\|^2$
6. Hilbert空间上的有界射影 $P$ 是正交射影当且仅当 $P$ 是自伴的
7. 谱半径 $\|r\|=\|T\|$
8. 属于不同特征值的特征向量必正交

Hilbert 空间上的紧自伴算子必然至少有一个非零特征值。 （实对称矩阵一定可以被对角化。）