Fredholm 算子与 Riesz–Schauder（紧算子谱理论）速记整理

设 $X$ 为 Banach（或 Hilbert）空间，算子默认是 有界线性算子。
记 $\ker(T)$ 为核，$R(T)$ 为值域（像），$T':X'\to X'$ 为对偶算子。

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1. Fredholm 算子（Fredholm operator）

1.1 定义

算子 $T:X\to X$ 称为 Fredholm 算子，如果满足：

1. 核有限维：$\dim\ker(T)<\infty$
2. 值域闭：$R(T)$ 在 $X$ 中是闭子空间
3. 余核有限维（值域余维有限）：

$$\operatorname{codim}R(T):=\dim(X/R(T))<\infty$$

直观：$T$ “几乎可逆”，不可逆性只发生在有限维的方向上。

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1.2 指标（index）

若 $T$ 是 Fredholm，则定义 指标

$$\operatorname{ind}(T):=\dim\ker(T)-\operatorname{codim}R(T).$$

• 指标为 0：

$$\operatorname{ind}(T)=0 \iff \dim\ker(T)=\operatorname{codim}R(T).$$

含义：被压扁的维数（核）与漏掉的维数（余核）“刚好相等”。

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1.3 关键推论（特别常用）

若 $T$ 是 Fredholm 且 $\operatorname{ind}(T)=0$，则

$$T \text{ 单射 } \iff T \text{ 满射 }.$$

理由：单射 $\Leftrightarrow \dim\ker(T)=0 \Rightarrow \operatorname{codim}R(T)=0 \Rightarrow R(T)=X$；反之同理。

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2. Riesz–Schauder 理论（紧算子谱理论 / Fredholm Alternative）

2.1 紧算子（compact operator）

$K\in\mathcal B(X)$ 称为紧算子：若 $K$ 将单位球 $B_X$ 映到相对紧集（像的闭包紧）。

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2.2 Riesz–Schauder（紧算子谱）核心结论（常用表述）

设 $K$ 紧，则：

1. 非零谱点都是特征值：
   若 $\mu\neq0$ 且 $\mu\in\sigma(K)$，则 $\mu$ 是特征值（存在 $x\neq0$ 使 $Kx=\mu x$）。

2. 非零特征值的特征空间有限维：

   $$\dim\ker(K-\mu I)<\infty\quad(\mu\neq0).$$

3. 非零谱点离散，唯一可能聚点为 0：
   $\sigma(K)\setminus\{0\}$ 至多可数，且其聚点只能是 0。

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2.3 Fredholm Alternative（对 $\lambda I-K$ 的版本）

设 $K$ 紧且 $\lambda\neq0$，令

$$T=\lambda I-K.$$

则（Riesz–Schauder / Fredholm Alternative 结论）：

• $T$ 是 Fredholm 算子，并且

  $$\dim\ker(T)<\infty,\quad R(T)\ \text{闭},\quad \operatorname{codim}R(T)<\infty.$$

• 可解性判别（对偶核控制像）：

  $$Tx=y \text{ 可解 } \iff f(y)=0\ \ \forall f\in\ker(T').$$

  等价写法：

  $$R(T)=\bigl(\ker(T')\bigr)^\perp.$$

• 特别地：

  $$R(T)=X \iff \ker(T')=\{0\}.$$

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3. 连接：为什么 $\lambda I-K$ 的指标为 0？

对 $T=\lambda I-K$（$\lambda\neq0$, $K$ 紧），Riesz–Schauder 给出更强的对称性：

$$\boxed{\dim\ker(T)=\dim\ker(T')<\infty.}$$

再结合一般恒等式（对闭值域）：

$$\operatorname{codim}R(T)=\dim\ker(T'),$$

得到

$$\operatorname{codim}R(T)=\dim\ker(T')=\dim\ker(T),$$

因此

$$\boxed{\operatorname{ind}(T)=\dim\ker(T)-\operatorname{codim}R(T)=0.}$$

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4. 你常见的三个等价（对应紧扰动情形）

对 $T=\lambda I-K$（$\lambda\neq0$, $K$ 紧）：

1. $$\ker(T)=\{0\}\iff R(T)=X$$
2. $$\dim\ker(T)=0 \iff \dim\ker(T')=0$$
3. $$\dim\ker(T)=\dim\ker(T')<\infty$$

它们都来自：$T$ 是 Fredholm 且指标为 0（Riesz–Schauder / Fredholm Alternative）。

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5. 总结

• Fredholm：核有限维 + 像闭 + 像的余维有限（“几乎可逆”）。
• 指标：$\dim\ker - \operatorname{codim}R$（“压扁多少维 vs 漏掉多少维”）。
• Riesz–Schauder：紧算子/紧扰动让所有“不可逆现象”只能发生在有限维上；对 $\lambda I-K$ 甚至核与余核维数相等（指标 0）。